Для решения ряда важных физических крае-вых задач (решения уравнений которых эквива-лентны нахождению минимума соответствую-щие функционалов) предлагается метод много-сеточных конечных элементов (ММКЭ), кото-рый реализуется на основе соотношений и ал-горитмов метода конечных элементов (МКЭ) в форме метода Ритца с применением многосе-точных конечных элементов (МнКЭ). При по-строении n-сеточного конечного элемента (КЭ) используем n вложенных сеток. Мелкая сетка порождена базовым разбиением тела, которое учитывает его сложную форму и физические особенности краевой задачи (например, неодно-родную структуру упругого тела). Остальные сетки применяем для понижения размер-ности МнКЭ (причем с увеличением n размер-ность МнКЭ уменьшается). Суть МнКЭ заклю-чается в следующем. На базовом разбиении n-сеточного КЭ, , которое состоит из из-вестных односеточных КЭ, определяем функ-ционал краевой задачи как функцию многих переменных, которыми являются значения ис-комой функции в узлах мелкой сетки. На ос-тальных n-1 сетках строим аппроксимирующие функции, которые используем для понижения размерности функции , что позволяет про-ектировать МнКЭ малой размерности. Проек-тирование n-сеточного КЭ проводится по еди-ной матричной процедуре. Основные отличия ММКЭ от МКЭ состоят в следующем. Во-первых, в ММКЭ можно применять сколь угодно мелкие базовые разбиения тел, что позволяет сколь угодно точно учитывать их сложную форму, неоднородную и микронеоднородную структуру упругих тел (без увеличения размер-ностей многосеточных дискретных моделей). В МКЭ невозможно использовать сколь угодно мелкие разбиения тел, так как ресурсы ЭВМ ог-раничены, т.е. ММКЭ более эффективный, чем МКЭ. Во-вторых, реализация ММКЭ на основе базовых моделей тел требует меньше памяти ЭВМ и временных затрат, чем реализация МКЭ для базовых моделей, т.е. ММКЭ более эконо-мичный, чем МКЭ. В-третьих, в ММКЭ применя-ем упругие однородные и неоднородные МнКЭ, при построении которых используем системы вложенных сеток, что расширяет область при-менения ММКЭ. В МКЭ применяют однородные односеточные КЭ. Поэтому можно считать, что ММКЭ есть обобщение МКЭ, т.е. МКЭ - ча-стный случай ММКЭ. Изложены процедуры по-строения МнКЭ различной формы. Предложена верхняя оценка погрешностей приближенных решений.
физические краевые зада-чи, однородные и неоднородные тела, многосе-точные конечные элементы, малая погреш-ность
1. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979. - 392 с.
2. Норри Д., Фриз Ж. де. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981. - 304 с.
3. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушений композиционных материалов. - М.: Мир, 1982. - 232 с.
4. Матвеев А.Д. Смешанные дискретные модели в анализе упругих трехмерных неоднородных тел сложной формы // Вестн. Перм. нац. исслед. политехн. ун-та. - 2013. - № 1. - С. 182-195.
5. Матвеев А.Д., Гришанов А.Н. Смешанные многосеточные дискретные модели трехмерных цилиндрических композитных панелей и оболочек сложной формы // Сб. ст. XIX зим-ней школы по механике сплошных сред. - Пермь, 2015. - С. 198-211.
6. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения // Прикладная механика и техническая физика. - 2004. - № 3. - С. 161-171.
7. Матвеев А.Д. Построение сложных многосеточных элементов с микронеоднородной структурой // Численные методы решения за-дач теории упругости и пластичности: тез. докл. XXIII Всерос. конф. (Барнаул, 2013 г.). - Новосибирск: Параллель, 2013. - С. 142-144.
8. Матвеев А.Д. Построение многосеточных конечных элементов сложной формы с применением локальных аппроксимаций // Вестник КрасГАУ. - 2013. - № 1. - С. 28-34.
9. Матвеев А.Д. Расчет тонких пластин и оболочек с применением многосеточных конечных элементов со свободными границами // Вестник КрасГАУ. - 2014. - № 3. - С. 44-47.
10. Матвеев А.Д. Построение сложных многосеточных конечных элементов с неоднородной и микронеоднородной структурой // Известия АлтГУ. Серия: Математика и механика - 2014. - № 1/1. - С. 80-83.
11. Матвеев А.Д. Применение граничных двух-сеточных элементов в расчетах трехмерных композитных балок // Вестник КрасГАУ. - 2014. - № 5. - С. 44-49.
12. Матвеев А.Д., Гришанов А.Н. Одно- и двух-сеточные криволинейные элементы трех-мерных цилиндрических панелей и оболочек // Известия АлтГУ. Серия: Математика и механика. - 2014. - № 1/1. - С. 84-89.
13. Матвеев А.Д., Гришанов А.Н. Многосеточные криволинейные элементы в трехмерном анализе цилиндрических композитных пане-лей с полостями и отверстиями // Ученые за-писки Казан. ун-та. Серия: Физико-математические науки. - 2014. - Т. 156. - № 4. - С. 47-59.
14. Матвеев А.Д., Гришанов А.Н. Многосеточные лагранжевые криволинейные элементы в трехмерном анализе композитных цилиндрических панелей и оболочек // Вестник КрасГАУ. - 2015. - № 2. - С. 75-85.
15. Матвеев А.Д. Расчет трехмерных композитных балок сложной формы с применением двухсеточных конечных элементов // Вестник КрасГАУ. - 2015. - № 8. - С. 92-98.
16. Матвеев А.Д. Расчет композитных пластин и балок с учетом их структуры с применением сложных многосеточных конечных элементов // Вестник КрасГАУ. - 2015. - № 9. - С. 100-107.
17. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах композитных пластин и балок // Вестник КрасГАУ. - 2016. - № 12. - С. 93-100.
18. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах трехмерных одно-родных и композитных тел // Учен. записки Казан. ун-та. Серия: Физ.-мат. науки. - 2016. - Т. 158. - № 4. - С. 530-543.
19. Matveev A.D. Multigrid finite element method in stress of three-dimensionalelastic bodies of heterogeneous structure // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. - 2016. - V. 158, № 1. - Art. 012067. - P. 1-9.
20. Матвеев А.Д., Гришанов А.Н. Трехмерные композитные многосеточные конечные эле-менты оболочечного типа // Изв. АлтГУ. Сер. физико-математические науки. - 2017. - № 4. - C. 120-125.
