Красноярский край, Россия
Россия
Россия
Цель исследования – аналитическое представление эластичности и обоснование критерия процесса смешивания сыпучих компонентов. Задачи: разработать аналитическую модель процесса смешивания сыпучих компонентов с учетом индикаторов эластичности и аналитически обосновать критерий качества смешивания сыпучих компонентов. Процесс качественного смешивания сыпучих смесей из растительных компонентов зависит от конструкции применяемого оборудования. Аналитическая модель и критерий качества процесса смешивания сыпучих компонентов разработаны для запатентованной конструкции лопастного смесителя. В качестве компонентов смеси использовалось зерно пшеницы и пшено. Факторами в исследованиях являлись: угловая скорость вала лопастного смесителя; угол наклона лопаток; содержание пшена в смеси. Целевыми функциями оптимизации являлись: вариабельность смеси, энергоемкость процесса смешивания сыпучих компонентов, а также обобщенный показатель, представляющий их свертку. Для вычислительного эксперимента использовался компьютерный пакет Maple. Предложенный критерий качества и эффективности смешивания представлен в аналитическом виде как критерий максимизации, а технологическая задача совершенствования процесса соответственно превращается в задачу условной оптимизации. На точках оптимума «смешанный» обобщенный показатель обладает свойством эластичности – «чувствительности» к управлению процессом смешивания. Критерий качества (эффективности) процесса смешивания сыпучих растительных компонентов предложен для согласования цели роста производительности (высокой энергоемкости) процесса смешивания при гарантированном обеспечении его устойчивости (низкой вариабельности). Определены численные значения максимумов при различных уровнях. При выборе угловой скорости вращения вала, угла наклона лопаток, содержания пшена в смеси на уровне вариации, не превышающем 1,85 %, достигается максимум энергоемкости процесса смешивания.
смеситель, смесь, компонент, фактор, эластичность, критерий качества, обобщенный показатель, вариабельность, энергоемкость, оптимум
Введение. Исследования по совершенствованию технологической операции смешивания сыпучих компонентов, проводимые отечественными и зарубежными учеными на протяжении многих лет, являются актуальными и в настоящее время [1, 2]. Оборудование для смешивания сыпучего материала используется в пищевой, комбикормовой, фармацевтической, химической и других отраслях промышленности.
Процесс качественного смешивания сыпучих смесей из растительных компонентов зависит от конструкции применяемого оборудования. В качестве недостатков используемого в производстве оборудования для смешивания сыпучих компонентов следует отметить высокие энергозатраты при смешивании сыпучих материалов и нестабильное качество смеси [3–5].
Проектирование смесителей сыпучих компонентов связано с теоретическими исследованиями процесса смешивания материала. В связи с этим актуальными являются теоретические исследования, направленные на проектирование нового оборудования [6–8].
Цель исследования – дать аналитическое представление эластичности и обосновать критерий качества (эффективности) процесса смешивания сыпучих компонентов.
Задачи: разработать аналитическую модель процесса смешивания сыпучих компонентов с учетом индикаторов эластичности; аналитически обосновать критерий качества (эффективности) процесса смешивания сыпучих компонентов.
Материалы и методы. Аналитические исследования проводились для запатентованной конструкции лопастного смесителя [9].
В качестве компонентов смеси использовалось зерно пшеницы и пшено. Факторами являлись угловая скорость вала лопастного смесителя; угол наклона лопаток; содержание пшена в смеси. Критериями оптимизации являлись вариабельность смеси (%вар) и энергоемкость процесса смешивания (кВт ч/т). Для вычислительного эксперимента использовался компьютерный пакет Maple.
Результаты и их обсуждение. Получено аналитическое представление эластичности процесса смешивания сыпучих компонентов. Эластичность обобщенного показателя H смешивания сыпучих растительных компонентов по изменению угловой скорости вала (х1, об/мин) представляется формулой
.
Эластичность обобщенного показателя H по изменению угла наклона лопаток (х2, г) представляется формулой
.
Эластичность обобщенного показателя H по изменению содержания пшена в смеси (х3, %) представляется формулой
.
С использованием полученных выше формул, с шагом 0,1, на точках оптимума обобщенного показателя рассчитаны значения эластичностей Е1, Е2, Е3.
Поскольку при α = 1, β = 0 обобщенный показатель H (α, β, x1, x2, x3) превращается в показатель вариабельности F (x1, x2, x3), т. е.
,
то в этом случае свойства эластичности обобщенного показателя становятся свойствами эластичности показателя вариабельности.
На точках минимума вариабельность F(x1, x2, x3) оказалась эластичной по изменению угловой скорости вала x1, но неэластичной по изменениям угла наклона лопаток x2 и содержания пшена в смеси x2, поскольку на данных точках выполняются неравенства
.
Заметим, что эластичность вариабельности F (x1, x2, x3) по угловой скорости вала x1 означает, что при фиксированных значениях x2 и x3 изменение факторной величины x1 на 1 % приводит к изменению результатной величины F более чем на 1 %.
На точках максимума ситуация иная – вариабельность F (x1, x2, x3) оказалась неэластичной по изменению угловой скорости вала x1, но стала эластичной по изменениям угла наклона лопаток x2 и содержания пшена в смеси x3, поскольку на данных точках выполняются неравенства
.
Заметим, что неэластичность вариабельности F (x1, x2, x3) по угловой скорости вала x1 практически означает, что изменение факторной величины x1 на 1 % не влияет на результат F.
Эластичность по переменному xk дает возможность представить факторный показатель xk как управляющий показатель xk для результатного показателя F. Ее можно проинтерпретировать как «чувствительность» механизма к управлению.
Очевидно, что при α = 0, β = 1 обобщенный показатель H(α, β, x1, x2, x3) превращается в показатель энергоемкости G(x1, x2, x3), т. е.
,
и в этом случае свойства эластичности обобщенного показателя становятся свойствами эластичности показателя энергоемкости.
Как на точках минимума, так и на точках максимума энергоемкость G(x1, x2, x3) оказалась неэластичной по изменениям угловой скорости вала x1, угла наклона лопаток x2 и содержания пшена в смеси x3. Неэластичность энергоемкости равносильна тому, что возмущение значения любого фактора xk на 1 %, практически не влияет на результат G.
Одной из мотиваций введения «смешанного» обобщенного показателя H(α, β, x1, x2, x3) с условием α ≠ 0, β=1–α ≠1 и α ≠ 1, β = 1–1 ≠ 0 является преодоление неэластичности «чистого» показателя энергоемкости. Здесь строки минимума и максимума H чередуются.
Методом вычислительного эксперимента на точках минимума H(α, β, x1, x2, x3) выявлена эластичность по изменению угловой скорости вала x1 и неэластичность по изменениям угла наклона лопаток x2 и содержания пшена в смеси x3. А на точках максимума H(α, β, x1, x2, x3) выявлена неэластичность по изменению угловой скорости вала x1 и эластичность по изменениям угла наклона лопаток x2 и содержания пшена в смеси x3. В указанном смысле эти эластичности в «обобщенном подходе» уравновешиваются.
При этом установлен характер этих изменений:
- эластичность E1(x1, x2, x3) на точках минимума H(α, β, x1, x2, x3) монотонно убывает от варианта α = 0,9, β = 0,1 до варианта α = 0,1, β = 0,9, т. е. от уровня │E1│ = 22,77 до уровня │E1│ = 10,35;
- эластичности E2(x1, x2, x3) и E3(x1, x2, x3) на точках максимума H(α, β, x1, x2, x3) монотонно убывает от варианта α = 0,9, β = 0,1 до варианта α = 0,1, β = 0,9;
- соответственно по углу наклона лопаток x2 и содержанию пшена в смеси x3 монотонно возрастают: от варианта α = 0,9, β = 0,1 до варианта α = 0,1, β = 0,9, то есть от уровня │E2│ = 1,44, │E3│ = 1,53 до уровня │E2│ = 1,00 > 1, │E3│ = 1,21 > 1.
В любом случае на точках оптимума «смешанный» обобщенный показатель обладает свойством эластичности – «чувствительности» к управлению процессом смешивания.
Критерий качества (эффективности) процесса смешивания сыпучих растительных компонентов предложен для согласования цели роста производительности (высокой энергоемкости) процесса смешивания при гарантированном обеспечении его устойчивости (низкой вариабельности).
Для начала определим множество допустимых изменений факторных показателей с учетом 5 % порогового уровня вариации процесса смешивания:
.
План (x*1, x*2, x*3), доставляющий максимум энергоемкости G(x1, x2, x3) на множестве всех допустимых планов ΩU, в случае его реализации обеспечит уровень G* качества и эффективности процесса смешивания компонентов.
Заключение. Предложенный критерий качества и эффективности смешивания представлен в аналитическом виде как критерий максимизации, а технологическая задача совершенствования процесса соответственно превратилась в задачу условной оптимизации: G* = max G(x1, x2, x3) при (x1, x2, x3)∈ΩU, т. е. (x*1, x*2, x*3) = arg max G(x1, x2, x3). Определены численные значения максимумов при различных уровнях: F < 1,85 < U = 2,0:
, 
– строгие требования определяют
;
, 
– обычные требования определяют
.
При выборе угловой скорости вращения вала х1 = 60 об/мин, угла наклона лопаток х2 = 45 г, содержания пшена в смеси х3 = 20 % на уровне вариации, не превышающем 1,85 %, достигается максимум энергоемкости процесса смешивания G* = 0,351 кВт · ч/т.
1. Макаров Ю.И. Аппараты для смешения сыпучих материалов. М.: Машиностроение, 1973. 216 с.
2. Селиванов Ю.Т., Першин В.Ф. Расчет и проектирование циркуляционных смесителей сыпучих материалов без внутренних перемешивающих устройств. М.: Машиностроение-1, 2004. 120 с.
3. Аветисян А.С., Матюшев В.В., Чаплыгина И.А. Эффективность применения лопастного смесителя сыпучих компонентов в технологии производства экструдатов // Научно-практические аспекты развития АПК: мат-лы нац. науч. конф. (Красноярск, 12 ноября 2021 г.) / Краснояр. гос. аграр. ун-т. Красноярск, 2021. С. 61–64.
4. Анализ существующих и перспективных конструкций смесителей сыпучих компонентов / В.В. Матюшев [и др.] // Наука и образование: опыт, проблемы, перспективы развития: мат-лы междунар. науч.-практ. конф. (Красноярск, 21–23 апреля 2020 г.) / Краснояр. гос. аграр. ун-т. Красноярск, 2020. Ч. 2. С. 178–181.
5. Аветисян А.С. Совершенствование конструкции лопастного смесителя сыпучих компонентов // Инновационные тенденции развития российской науки: мат-лы XIV междунар. науч.-практ. конф. молодых ученых (Красноярск, 7–9 апреля 2021 г.) / Краснояр. гос. аграр. ун-т. Красноярск, 2021. Ч. 1. С. 398–400.
6. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981. 448 с.
7. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика для инженеров и научных работников. М.: Физматлит, 2012. 816 с.
8. Численные методы при моделировании технологических машин и оборудования: учеб. пособие / Г.В. Алексеев [и др.]. СПб.: ГИОРД, 2014. 200 с.
9. Пат. 192831 RU, МПКВ01F7/02 (2006.01), В28С 5/14 (2006.01). Лопастной смеситель / Матюшев В.В., Семенов А.В., Чаплыгина И.А., Аветисян А.С.; патентообладатель Красноярский государственный аграрный университет. № 2019122007; заявл. 09.07.2019; опубл. 02.10.2019.
